Recursos Naturais

EAE1317 — Economia do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais

Rafael Pucci

2026-10-20

Vinte barris para duas gerações

Um poço tem 20 barris de petróleo e deve servir a duas gerações. Sem limite de estoque, cada geração extrairia 15. A taxa de juros é de 10% por geração. Como uma alocação eficiente divide os 20 barris?

(a) 10 barris para cada geração.

(b) Mais de 10 barris para a geração presente.

(c) Mais de 10 barris para a geração futura.

E essa divisão é justa?

Aula Passada

  • Bens com qualidade diferenciada
    • Distribuição Observada
  • Modelo de Preços Hedônicos
    • Premissas
    • Demanda
    • Oferta
    • Pontos de Equilíbrio
  • Estimando Disposição Marginal a Pagar
    • Modelo Econométrico
    • Aplicações

Referência: Phaneuf e Requate, caps. 15 e 18

Agenda

  • Economia dos Recursos Naturais
  • Eficiência Dinâmica e Equidade
    • Eficiência Dinâmica
    • Custo Marginal da Escassez
    • Equidade
  • Sustentabilidade
    • Critério da Sustentabilidade
    • Exemplo: Fundo Permanente do Alasca
    • Critérios Alternativos
  • Implicação para Política Pública
  • Taxonomia dos Recursos Não-Renováveis
  • Reciclagem
  • Alocação Intertemporal
    • Sem Substitutos
    • Com Substitutos
    • Custo Marginal Crescente
    • Recurso Parcialmente Renovável

Referência: Tietenberg e Lewis, caps. 5 e 6

Onde estamos no curso

1. Poluição. Externalidade em um único período: a emissão de hoje não altera o que existe amanhã.

2. Valoração. Como medir em reais o dano marginal do bem ambiental.

3. Recursos naturais. O tempo entra no problema: o que se extrai hoje deixa de existir amanhã.

4. Duas perguntas: qual alocação entre gerações é eficiente? Qual é justa?

Economia dos Recursos Naturais

Economia dos Recursos Naturais

  • Até agora, estudamos externalidades ambientais negativas, suas causas e potenciais soluções.
  • Nas próximas aulas, trataremos da exploração de recursos naturais.
    • E potenciais problemas quando essa exploração é feita de maneira ineficiente.
  • Vamos passar a falar de um problema similar ao de recursos comuns.

Economia dos Recursos Naturais

  • Um aspecto relevante para recursos naturais, que ignoramos no caso de poluição, é o tempo.
  • Muitos recursos naturais são classificados como não-renováveis.
    • Isso significa que a exploração desses recursos hoje impacta o quanto estará disponível amanhã.
    • Exemplo: petróleo.
      • As reservas de petróleo se formaram ao longo de milhões de anos e são finitas.
      • Quanto mais se explora hoje, menos haverá amanhã.
  • Mesmo no caso de recursos renováveis, há um tempo de reposição.
    • Exemplo: extração de madeira.
      • Árvores com valor comercial demoram alguns anos para amadurecer.
      • Se o produtor corta as árvores rápido demais, ficará sem matéria prima até que novas mudas cresçam o suficiente.

Eficiência Dinâmica e Equidade

Eficiência Dinâmica e Equidade

  • Nas aulas anteriores, tratamos de eficiência estática.
    • Ou seja, a dimensão tempo não era relevante.
  • O conceito de eficiência dinâmica diz respeito à alocação intertemporal de consumo ou recursos.
    • Nos cursos de Micro e Macro, vocês devem ter estudado suavização de consumo em um modelo intertemporal, por exemplo.
  • Eficiência dinâmica diz respeito ao uso de recursos sem desperdício.
    • Assim como a ideia de Pareto-Ótimo vista anteriormente.

Eficiência Dinâmica e Equidade

  • O uso sem desperdício, no entanto, pode não ser a única preocupação da nossa sociedade.
  • Muitas vezes, queremos que a distribuição de recursos também seja justa.
    • Este é o critério de equidade.
  • Assim, no caso de recursos naturais, podemos querer distribuições eficientes ou justas entre gerações.

Exemplo “Moderno”

Mar de Aral era 4º maior lago do mundo, mas praticamente secou ao longo de 20 anos.

  • Projeto de irrigação nos anos 60 desviou água dos rios Syr Darya e Amu Darya na Ásia Central.
  • Embora tenha beneficiado agricultura, o desvio reduziu vazão no mar.

Imagens: NASA (domínio público).

Exemplo Mais Moderno

  • Pantanal perdeu 29% da área alagada em período de cheia (35% em período de seca) ao longo de 30 anos.
    • Processo está associado à perda de vegetação nas cabeceiras dos rios, represamento de águas e mudanças climáticas em geral no Cerrado.

Projeto MapBiomas: Mapeamento Anual de Cobertura e Uso da Terra no Pantanal, Coleção 7. Licença CC BY 4.0. FactSheet-Pantanal_2022.pdf

Eficiência Dinâmica

  • Os exemplos anteriores ilustram, potencialmente, as consequências de má gestão de recursos naturais.
    • Seja do ponto de vista de eficiência ou equidade ou ambos.
  • Para começar, trataremos do conceito de eficiência dinâmica.
  • Simplificaremos o problema usando um modelo de apenas dois períodos de tempo.
    • \(t=1\) representa geração presente.
    • \(t=2\) representa a geração futura.

Eficiência Dinâmica

  • Suponha que a demanda por determinado recurso natural seja representada da seguinte forma:

\[{P}_{t}=a-b{q}_{t}\]

  • Sendo \({q}_{t}\) a quantidade do recurso e \({P}_{t}\) seu preço nas gerações \(t\in \left\{1,2\right\}\).
  • O custo de produção é dado por \(C\left(q\right)=cq\)
    • Logo, o custo marginal é dado por \(CMg\left(q\right)=c\)

Eficiência Dinâmica

  • Vamos representar a alocação desse recurso em cada geração \(t\).
  • Quantidade de equilíbrio é igual a \(\frac{a-c}{b}\) nas duas gerações.
  • Suponha \(a=8, b=0{,}4,c=2 \to {q}_{t}=15\)
  • Logo, quantidade total nos dois períodos seria \(Q={q}_{1}+{q}_{2}=30\)

Eficiência Dinâmica

O que está faltando neste problema?

  • Escassez!

Se a reserva total (\(\overline{Q}\)) desse recurso é \(\overline{Q}\geq 30\), não há escassez.

  • É possível consumir a quantidade ótima sem prejudicar nenhuma geração \(t\).

Problema surge quando \(\overline{Q}<30\).

Com \(\overline{Q}=20\), se a geração presente extrair os 15 que deseja, restam apenas 5 para a geração futura.

Eficiência Dinâmica

  • Como encontrar a alocação eficiente quando há escassez?
  • Queremos maximizar o valor presente do benefício gerado pelo recurso.
  • Qual é o benefício gerado pelo recurso em cada geração \(t\)?

\[\text{Benefício}_{t}=\int_{0}^{{q}_{t}}\left(a-bx\right)dx=a{q}_{t}-\frac{b}{2}{q}_{t}^{2}\]

Eficiência Dinâmica

Considerando que o custo é dado por \(C\left({q}_{t}\right)=c{q}_{t}\), qual é o valor presente líquido do benefício gerado em dois períodos?

\[a{q}_{1}-\frac{b}{2}{q}_{1}^{2}-c{q}_{1}+\frac{1}{1+r}\left[a{q}_{2}-\frac{b}{2}{q}_{2}^{2}-c{q}_{2}\right]\]

  • Sendo \(r\) a taxa de juros

Qual seria a restrição neste contexto?

\[{q}_{1}+{q}_{2}\leq \overline{Q}\]

Eficiência Dinâmica

O problema de maximização seria, então,

\[\max_{{q}_{1},{q}_{2}} \left\{a{q}_{1}-\frac{b}{2}{q}_{1}^{2}-c{q}_{1}+\frac{1}{1+r}\left[a{q}_{2}-\frac{b}{2}{q}_{2}^{2}-c{q}_{2}\right]\right\}\]

\[\text{s.a. } {q}_{1}+{q}_{2}=\overline{Q}\]

Solução?

Solução por substituição

Substituindo \({q}_{2}=\overline{Q}-{q}_{1}\) e derivando em relação a \({q}_{1}\):

\[a-b{q}_{1}-c-\frac{1}{1+r}\left[a-b\left(\overline{Q}-{q}_{1}\right)-c\right]=0\]

Com \(a=8\), \(b=0{,}4\), \(c=2\), \(\overline{Q}=20\) e \(r=0{,}1\):

\[6-0{,}4{q}_{1}=\frac{6-0{,}4\left(20-{q}_{1}\right)}{1{,}1}\;\Rightarrow\;6{,}6-0{,}44{q}_{1}=-2+0{,}4{q}_{1}\]

\[{q}_{1}^{*}=\frac{8{,}6}{0{,}84}\approx 10{,}24 \qquad {q}_{2}^{*}=20-{q}_{1}^{*}\approx 9{,}76\]

Eficiência Dinâmica

Alternativamente, podemos resolver o problema com

\[\max_{{q}_{1},{q}_{2}} \left\{a{q}_{1}-\frac{b}{2}{q}_{1}^{2}-c{q}_{1}+\frac{1}{1+r}\left[a{q}_{2}-\frac{b}{2}{q}_{2}^{2}-c{q}_{2}\right]+\lambda \left[\overline{Q}-{q}_{1}-{q}_{2}\right]\right\}\]

E chegamos a

\[\underbrace{a-b{q}_{1}-c}_{\substack{\text{Benefício marginal do}\\ \text{recurso em } t=1}}=\underbrace{\frac{1}{1+r}\left[a-b{q}_{2}-c\right]}_{\substack{\text{Benefício marginal em } t=2\\ \text{trazido a valor presente}}}\]

Eficiência Dinâmica

  • Suponha mesmos valores de antes
    • \(a=8, b=0{,}4, c=2\)
    • Suponha também \(\overline{Q}=20\) e \(r=0{,}1\)
  • Com isso, teremos \({q}_{1}^{*}\cong 10{,}2\) e \({q}_{2}^{*}\cong 9{,}8\)
  • Note que recurso no futuro tem menos valor no presente por causa de \(r\).
    • Logo, há menor alocação em \(t=2\).
  • Note, também, que não temos \({q}_{1}=15\) na primeira geração
    • Isto porque há um custo implícito em se explorar mais hoje → haverá menos amanhã.
    • Esse custo é representado por \(\lambda\) (custo marginal da escassez).

Custo Marginal da Escassez

É o custo de oportunidade de se extrair mais recurso hoje e deixar menos para amanhã.

  • Também é chamado de “Marginal User Cost”.

Este custo é representado por \(\lambda\).

  • Tomemos o exemplo numérico anterior
    • \(a=8;b=0{,}4; c=2; \overline{Q}=20;r=0{,}1\)
    • \({q}_{1}^{*}=10{,}2;{q}_{2}^{*}=9{,}8\)
    • \(\lambda =1{,}9\)

O benefício marginal da geração presente

  • Cada ponto do eixo horizontal é uma divisão dos 20 barris: \({q}_{1}\) cresce da esquerda, \({q}_{2}\) da direita.
  • A curva verde é o ganho líquido da última unidade extraída hoje.

Somando a geração futura

  • A curva laranja é o benefício marginal líquido da geração 2, em valor presente, lido da direita para a esquerda.
  • Começa em 5,45, não em 6, por causa do desconto.

O ótimo é o cruzamento

  • À esquerda do cruzamento, vale mais extrair hoje; à direita, amanhã.
  • Áreas sombreadas: valor presente do benefício líquido, 76,39. A divisão míope (15 hoje, 5 amanhã) dá 67,73.

Custo Marginal da Escassez

Custo marginal da escassez é crescente ao longo do tempo.

  • Intuitivamente, quanto mais tempo passa, menos fica para a geração seguinte.

A regra de Hotelling

Em cada geração, o preço é o custo de extração mais o custo de usuário: \({P}_{1}=3{,}905\) e \({P}_{2}=4{,}095\).

\[\frac{{P}_{2}-c}{{P}_{1}-c}=\frac{2{,}095}{1{,}905}=1{,}1=1+r\]

  • Com custo de extração constante, o custo de usuário cresce à taxa de juros na alocação eficiente: é a regra de Hotelling (Hotelling 1931).
  • Petróleo no subsolo é um ativo. Se a renda de escassez crescesse mais que \(r\), ninguém extrairia hoje; se crescesse menos, todos extrairiam hoje e aplicariam a receita.
  • Em equilíbrio, manter um barril no solo rende o mesmo que vendê-lo e aplicar o dinheiro (Keohane e Olmstead 2016).

Quem arca com o custo de usuário?

  • O dono de um poço que extrai mais hoje reduz o próprio estoque futuro. O custo de usuário recai sobre quem extrai.
  • Com direitos de propriedade bem definidos, o mercado incorpora \(\lambda\) ao preço.
  • Para recursos de acesso aberto: a água que um usuário deixa no solo pode ser bombeada por outro \(\rightarrow\) o custo de usuário passa a ser uma externalidade.
  • Aquífero de Ogallala (EUA): cerca de 30% da água subterrânea usada na irrigação do país, bombeada a cerca de dez vezes a taxa de recarga (Keohane e Olmstead 2016).
  • Mar de Aral: quem arcava com o custo de usuário da água desviada?
  • Problema similar ao de recursos comuns anunciado no início da aula.

E o poder de mercado?

  • Um monopolista restringe a oferta e, com recurso esgotável, isso significa extrair mais devagar que o eficiente.
  • Por isso, Robert Solow chamou o monopolista de “amigo do conservacionista” (Keohane e Olmstead 2016).
  • Mas mais devagar não é necessariamente melhor: o benefício líquido total fica abaixo do eficiente.
  • Caso prático: a OPEP raramente sustentou preços altos (baixa produção), pois isto estimula a produção fora do cartel e o descumprimento de cotas pelos membros.

Equidade

Conforme vimos, a geração presente deixará recursos para o futuro de acordo com a taxa de desconto \(r\)

Se há escassez, \(r\) afeta negativamente recursos em \(t=2\)

A taxa de desconto gira a curva da geração futura

  • Com \(r=0\), a divisão é 10 e 10. Com \(r=0{,}1\), 10,24 e 9,76. Com \(r=0{,}5\), 11 e 9.

Equidade

Conforme vimos, a geração presente deixará recursos para o futuro de acordo com a taxa de desconto \(r\)

Se há escassez, \(r\) afeta negativamente recursos em \(t=2\)

Portanto, com \(r>0\), geração atual tipicamente deixa menos para o futuro.

  • Mas é justo que seja sempre assim?

Eficiência Dinâmica vs. Equidade

O fato de que gerações passadas deixam menos recursos para gerações futuras não parece exatamente justo.

  • Se isso é verdade, é preciso definir o que seria justo.

Um critério possível que estudaremos é o de sustentabilidade.

  • Em uma alocação sustentável, geração futura tem nível de bem-estar ao menos tão elevado quanto o da geração passada.

Critério da Sustentabilidade

Assim, geração presente tem liberdade para usar recursos que não estarão disponíveis no futuro.

  • Contanto que isto não prejudique bem-estar da geração futura.

Ou seja, sustentabilidade não exige que geração presente conserve recursos não-renováveis para uso futuro.

  • Exige apenas que o bem-estar no futuro seja equivalente ao do presente.

Critério da Sustentabilidade

A pergunta que fica é se alocações dinamicamente eficientes são justas

Consideremos o exemplo numérico anterior, com \({q}_{1}^{*}\cong 10{,}2\) e \({q}_{2}^{*}\cong 9{,}8\)

Temos \(V\left({q}_{1}^{*}\right)=40{,}4\) e \(V\left({q}_{2}^{*}\right)=39{,}6\) → \(V({q}_{1}^{*})>V({q}_{2}^{*})\)

  • Não satisfaz sustentabilidade.

Alternativamente, alocação igualitária seria sustentável:

\[{q}_{1}={q}_{2}=\overline{q}=10\to V\left(\overline{q}\right)=40 \;\forall t\]

\(V(q)=aq-\frac{b}{2}q^{2}-cq\) é o benefício líquido da geração que extrai \(q\).

Eficiente contra igualitária

  • Sem arredondar \({q}_{1}^{*}=10{,}238\): \(V({q}_{1}^{*})=40{,}46\) e \(V({q}_{2}^{*})=39{,}51\).

Critério da Sustentabilidade

Mas, se geração presente pode transferir benefícios gerados para geração futura, sustentabilidade é possível.

Suponha que geração presente separe uma parte de seu benefício para a geração futura.

  • De modo que \(V\left({\tilde{q}}_{1}\right)=V\left(\overline{q}\right)=40\)

Teremos uma sobra de \(\theta =V\left({q}_{1}^{*}\right)-V\left(\overline{q}\right)=0{,}4\)

Aplicando esse valor à taxa \(r=0{,}1\), geração futura terá

\[V\left({q}_{2}^{*}\right)+\theta \left(1+r\right)=39{,}6+0{,}4\times 1{,}1=40{,}04>V\left({\tilde{q}}_{1}\right)\]

  • Neste caso, a alocação satisfaz o critério de sustentabilidade.

A transferência em números

  • Sem arredondar valores anteriores, a sobra de 0,46 vira 0,51 e a geração 2 fica com 40,02: acima dos 40 da alocação igualitária.

Critério da Sustentabilidade

Portanto, eficiência dinâmica não satisfaz sustentabilidade automaticamente.

Entretanto, introduzindo alguma regra de compartilhamento de ganhos, é possível tornar essa alocação sustentável.

Quanto transferir? A regra de Hartwick

O consumo pode ser mantido constante para sempre se toda a renda de escassez do recurso extraído for investida em capital (Hartwick 1977).

  • Analogia: uma herança de R$ 10.000 aplicada a 10% ao ano. Retirar até R$ 1.000 por ano preserva o principal; retirar mais o esgota.
  • O critério fica operacional: o valor do estoque total de capital (natural mais físico) não pode cair.
  • Não exige conhecer as preferências das gerações futuras. Basta acompanhar o estoque de capital ano a ano.

Exemplo: Fundo Permanente do Alasca

Extração de petróleo no Alasca (EUA) gera muitas receitas, mas tem grande impacto ambiental.

Antes da conclusão do oleoduto do Alasca em 1976, governo do estado estabeleceu um fundo permanente.

  • Seria alimentado com 25% de todas as receitas com a extração de petróleo
  • Montante principal não pode ser usado para gasto corrente

Fundo é aplicado em diversos investimentos.

  • Dividendos são, tipicamente, distribuídos entre toda a população do Alasca.

Esta é uma política que satisfaz o critério da sustentabilidade?

Exemplo: Fundo Permanente do Alasca

Esta é uma política que satisfaz o critério da sustentabilidade?

  • Não exatamente.

Apenas 25% da receita é devolvida às gerações futuras.

  • Uma grande parte do ganho de bem-estar gerado fica com geração presente.

Portanto, o fundo resolve parcialmente o problema.

  • Pela regra de Hartwick, a sustentabilidade plena exigiria investir 100% da renda de escassez.

  • Em junho de 2026, o fundo valia US$ 91,9 bilhões e, em 2025, pagou dividendos de US$ 1.000 a cada residente.

Critérios alternativos

Critério O que não pode cair Substituição entre capitais
Sustentabilidade fraca Valor do capital total (natural, físico e humano) Ampla
Sustentabilidade forte Valor do capital natural Limitada
Sustentabilidade ambiental Fluxo físico de cada recurso (ex.: captura até o crescimento do cardume) Nenhuma
  • A regra de Hartwick garante a versão fraca.
  • A versão fraca é a de Solow: deixar às gerações futuras a capacidade de estar tão bem quanto a geração atual (Keohane e Olmstead 2016).

Implicação para Política Pública

Os conceitos de sustentabilidade e eficiência dinâmica não são a mesma coisa.

Uma possibilidade é buscarmos alocações sustentáveis e, dentre estas, encontrar aquela que é dinamicamente eficiente.

Podemos usar o conceito de eficiência como guia para maximizar bem-estar diante de múltiplas alternativas de alocação sustentável.

Recursos Não-Renováveis

Até aqui

  • Economia dos Recursos Naturais
  • Eficiência Dinâmica e Equidade
  • Sustentabilidade
  • Implicação para Política Pública

A seguir: mais de dois períodos, substitutos e custos de extração. Referência: Tietenberg e Lewis, cap. 6

Onde estamos na aula

1. Quanto existe? Reservas, dotação e reciclagem.

2. Muitos períodos. Quando o recurso se esgota e a que preço.

3. Substituto renovável. Quando ocorre a troca.

4. Custos crescentes e ambientais. O que fica no solo.

Taxonomia dos Recursos Não-Renováveis

Antes de prosseguirmos, podemos separar as reservas de recursos não-renováveis em 3 categorias:

  • Reservas Atuais: são aquelas que podem ser exploradas lucrativamente aos preços atuais.
  • Reservas Potenciais: sujeitas a incertezas, estas reservas são uma função do preço pago pelo recurso natural.
    • Quanto mais valioso o recurso, mais esforço será empregado na sua extração, seja por formas convencionais ou não-convencionais.
  • Dotação do Recurso: é o total do recurso que existe no planeta.
    • É um conceito geológico, não econômico.

Diagrama de McKelvey

  • Reservas atuais: identificadas e lucrativas aos preços atuais.
  • Preço maior ou tecnologia nova deslocam a fronteira para baixo; a exploração, para a direita (Keohane e Olmstead 2016).

Expandindo Reservas

Conforme preço do recurso aumenta, pode valer a pena explorar novas formas de extraí-lo.

Exemplo:

  • Preço do petróleo aumentou substancialmente a partir de 2003.
  • Alto preço induziu a criação de novas tecnologias de extração.
    • Fracking nos EUA.
  • Queda no preço em 2015 trouxe dificuldades para fracking.

Quantos anos de petróleo restam?

  • Em 1980, as reservas provadas cobriam 28 anos de produção: o petróleo acabaria em 2008. Em 2013, cobriam 50 anos (Keohane e Olmstead 2016).
  • O índice trata as reservas como um número fixo. Pela taxonomia, elas são função do preço.

Tecnologia: o minério de ferro de Mesabi

Em 1947, o presidente da Republic Steel estimou entre 5 e 7 anos a vida útil das minas de Mesabi (Minnesota), fonte de cerca de 60% do minério de ferro consumido pelos EUA na Segunda Guerra. Em 1955, a escassez já não preocupava (Kakela 1981).

Antes Com pelotização
Teor de ferro do minério usado 50% a 65% menos de 30% (taconita)
Energia por tonelada −17%
Trabalho por tonelada −8,2%
Produção de um alto-forno (t/dia) 1.500 2.700 a 2.800
  • Minério de pior qualidade e custo menor: o progresso técnico pode conter o custo marginal total por um longo período (Tietenberg e Lewis 2018).

Recursos Recicláveis

Além de novas formas de extração, alguns recursos não-renováveis podem ser reciclados ou reutilizados.

Novamente, o uso dessa “tecnologia” estará sujeito à sua lucratividade.

  • Reciclagem será usada na medida em que seja economicamente viável.

Exemplo: vidro e alumínio são totalmente recicláveis.

  • Taxa de reciclagem do alumínio é de praticamente 100% no Brasil.
  • Mas taxa de reciclagem do vidro é de apenas 26%.
    • Logística reversa é mais complexa, em parte porque recicladoras estão espacialmente concentradas.

Fonte: https://cempre.org.br/taxas-de-reciclagem/

Reciclar dá prejuízo?

Uma cidade gasta 20 por tonelada para coletar e separar material reciclável e vende a sucata por 10. Deve reciclar?

Conta do caixa Conta econômica
Custo de reciclar −20 −20
Venda da sucata +10 +10
Aterro evitado +20
Saldo por tonelada −10 +10
  • Cada tonelada reciclada deixa de ir para o aterro. O custo de descarte evitado é um benefício da reciclagem.
  • Pela conta do caixa, o programa “dá prejuízo”. Pela conta econômica, é eficiente (Tietenberg e Lewis 2018).

Quem decide não paga o descarte

  • Quem separa o lixo é a família. Com taxa de coleta fixa, um saco a mais não custa nada a mais: ela só considera o próprio incômodo (4) e recicla 10% do lixo.
  • O ótimo considera o custo social do aterro (20): 50%. É a externalidade das aulas 03 a 07, agora no lixo.

Cobrar pelo saco: o caso de Marietta

Em 1994, Marietta (Geórgia, EUA) reduziu a taxa fixa de coleta de US$ 15 para US$ 8 por mês e testou duas cobranças adicionais (Van Houtven e Morris 1999):

Programa Como se paga Um saco a mais custa Lixo não reciclado
Saco US$ 0,75 por saco US$ 0,75 até −51%
Lata US$ 3 a 4 por lata, contratado antes nada, até o limite contratado cerca de −20%
  • O saco funciona melhor porque cobra na margem: cada saco a mais custa. O contrato de latas é pago antes; o saco extra dentro do limite continua de graça.
  • Benefício líquido estimado para a cidade: US$ 586 por dia com o saco, US$ 234 com a lata (Tietenberg e Lewis 2018).

Alocação Intertemporal Eficiente

Voltemos ao modelo intertemporal, mas consideremos agora múltiplos períodos.

\[\max_{\{{q}_{1},...,{q}_{T}\}} \sum_{t=1}^{T} \frac{1}{{\left(1+r\right)}^{t-1}}\left[a{q}_{t}-\frac{b}{2}{q}_{t}^{2}-c{q}_{t}\right]+\lambda \left[\overline{Q}-\sum_{t=1}^{T} {q}_{t}\right]\]

As CPOs para um período \(t\) qualquer são

\[\frac{a-b{q}_{t}-c}{{\left(1+r\right)}^{t-1}}=\lambda , \qquad t\in \left\{1,2,...,T\right\}\]

\[\overline{Q}=\sum_{t=1}^{T} {q}_{t}\]

Alocação Intertemporal Eficiente

Vamos supor os mesmos parâmetros de antes

  • \(a=8;b=0{,}4; c=2; r=0{,}1\)
  • Vamos mudar apenas \(\overline{Q}=40\)

Relembremos que o Custo Marginal da Escassez aumenta com o tempo.

  • Recurso vai ficando mais escasso e mais caro.

Com múltiplos períodos, em quanto tempo recurso é exaurido?

Alocação Intertemporal Eficiente

É possível resolver recursivamente o problema de alocação eficiente (chutando o valor de \(\lambda\) inicial).

  • Com isso, desenhamos uma linha do tempo para a extração do recurso e seu custo marginal total.

Alocação Intertemporal Eficiente

Não há mais exploração do recurso a partir do período 9. Por quê?

  • Custo marginal total igual à máxima disposição marginal a pagar (\(a=8\)).

Alocação Intertemporal Eficiente

Como é de se esperar, se não há alternativa ao recurso.

  • A quantidade extraída diminui ao longo do tempo.
  • O custo marginal total aumenta conforme é exaurido.
  • Eventualmente, a extração vai deixar de ser economicamente viável.

A chegada à extração zero é suave: o preço sinaliza a escassez antes, e o recurso não acaba “de repente” (Tietenberg e Lewis 2018).

Recursos Renováveis

Recursos renováveis têm alta taxa de reposição e podem, supostamente, ser repostos perpetuamente.

Em muitos casos, essa taxa de reposição pode ser influenciada por humanos.

  • Estoque de peixes;
  • Nutrientes no solo;
  • Árvores na floresta.

Recursos renováveis podem servir como substitutos para recursos não-renováveis.

Transição para Recurso Renovável

Como o problema muda se existe um recurso renovável alternativo?

Vamos supor que esse recurso renovável seja um substituto perfeito do recurso não-renovável.

  • Denote esse recurso como \({q}_{st}\) e seu custo marginal de extração como \(d\).
  • Neste caso, qual é o problema de maximização de bem-estar?

\[\begin{aligned}\max_{\substack{\{{q}_{1},...,{q}_{T}\}\\ \{{q}_{s1},...,{q}_{sT}\}}}\; &\sum_{t=1}^{T} \frac{1}{{\left(1+r\right)}^{t-1}}\left[a\left({q}_{t}+{q}_{st}\right)-\frac{b}{2}{\left({q}_{t}+{q}_{st}\right)}^{2}-c{q}_{t}-d{q}_{st}\right]\\ &+\lambda \left[\overline{Q}-\sum_{t=1}^{T} {q}_{t}\right]\end{aligned}\]

Transição para Recurso Renovável

  • Como são substitutos perfeitos, solução depende dos valores de \(d\) e \(c\).
  • Suponha \(d=6>2=c\).
    • Enquanto custo marginal total \(c+\lambda {\left(1+r\right)}^{t-1}<d\), teremos \({q}_{t}^{*}>0\) e \({q}_{st}^{*}=0\).
    • Quando \(c+\lambda {\left(1+r\right)}^{t-1}>d\), teremos \({q}_{t}^{*}=0\) e \({q}_{st}^{*}>0\).

O que muda com o substituto

  • A troca ocorre no período 6, não no 9. Com substituto, guardar recurso para o futuro vale menos: \(\lambda\) cai de 2,80 para 2,48.
  • Extrai-se mais no início.
  • Depois da troca, o preço fica em \(d=6\) e o consumo em \((8-6)/0{,}4=5\).
  • O recurso renovável induz um teto para o preço do não renovável: ninguém paga pelo petróleo mais que pela energia equivalente do sol ou do vento (Keohane e Olmstead 2016).

Custo de Extração Crescente

Além da existência de recursos alternativos, o custo de extração de um recurso não-renovável tende a ser crescente.

  • Em mineração, primeiro extraem-se os minérios com concentração mais alta da substância de interesse (cobre ou estanho, por exemplo).

Neste caso, podemos ter uma função de custo marginal dada por

\[CM{g}_{t}=c+\alpha {Q}_{t}\]

  • Em que \({Q}_{t}=\sum_{k=1}^{t}{q}_{k}\), ou seja, a soma de tudo que já foi extraído até \(t\).

Custo de Extração Crescente

Qualitativamente, se há recurso renovável alternativo, a conclusão é a mesma.

Extrai-se o recurso não-renovável enquanto seu custo marginal total é menor do que custo marginal do recurso renovável.

O que muda com o custo crescente

  • Com \(c=2\), \(\alpha=0{,}1\) e \(d=6\), o custo de usuário cai ao longo do tempo: de 2,43 a zero na troca. No custo constante, ele subia.
  • Cada unidade extraída hoje encarece a extração futura. Perto da troca, guardar uma unidade quase nada vale para o futuro.
  • O limite passa a ser econômico: a extração para em \(Q=40\), onde \(2+0{,}1Q=6\), para qualquer estoque acima disso. Com \(\overline{Q}=60\), 20 unidades ficam no solo porque custam mais que o substituto (Tietenberg e Lewis 2018).

Custo ambiental da extração

  • Suponha que cada unidade extraída cause um dano de 1, não pago pela mineradora. O custo social de extração passa a \(3+0{,}1{Q}_{t}\).
  • Sem internalizar o dano: preço baixo demais, extração por período alta demais (7,13 contra 6,30 em \(t=1\)) e total extraído alto demais (40 contra 30).

Extrai-se mais, por mais tempo

  • Sem internalizar o dano, a troca para o renovável chega mais tarde (período 7 contra 6). Por quê?
  • O preço maior reduz o consumo e alongaria o uso, mas há menos a extrair. No exemplo, prevalece o segundo efeito (Tietenberg e Lewis 2018).

O paradoxo verde

  • Sinn (2008): um imposto sobre carbono que cresce mais rápido que \(r\) reduz o ganho de esperar e antecipa a extração (Sinn 2008).
  • A antecipação ocorre tanto com custo de extração constante como crescente. O que muda entre os dois casos é o total extraído:
    • Custo constante: estoque de recurso esgota antes com imposto, mas o total extraído é igual ao cenário sem imposto.
    • Custo crescente: além de antecipar, o imposto encarece as últimas unidades e faz com que mais recursos fiquem guardados no solo.

Considere este exemplo, com custo constante. Por que a taxa de crescimento do imposto importa?

Paradoxo verde em números

Mesmo modelo de N períodos: \(\overline{Q}=40\), \(c=2\), sem substituto. Cada unidade extraída emite uma unidade de CO\(_2\).

  • Os donos do recurso pagam um imposto por unidade \({\tau}_{t}=0{,}5{\left(1+g\right)}^{t-1}\). A CPO passa a ser

\[\frac{a-b{q}_{t}-c-{\tau}_{t}}{{\left(1+r\right)}^{t-1}}=\lambda\]

  • Com \(g=r\), o termo \({\tau}_{t}/{\left(1+r\right)}^{t-1}\) vale 0,5 em todo período. O imposto reduz \(\lambda\) (de 2,80 para 2,30), mas a extração se comporta exatamente como no caso sem imposto: a decisão intertemporal não muda.
  • Com \(g>r\), esse termo cresce com \(t\). Extrai-se antes, porque adiar custa mais caro.

Um imposto que cresce 30%

  • Com \(g=0{,}3\), a extração no período 1 sobe de 8,0 para 9,22. O estoque acaba no período 7 (sem imposto, no 8).
  • O total emitido continua 40. O que muda é a data: até \(t=3\), saem 25,0 em vez de 21,8.

Quatro trajetórias do imposto

Imposto \(\tau_t\) \(q_1\) Último período Extraído até \(t=3\) VP do dano
Sem imposto 8,00 8 21,84 32,06
Constante, 0,5 7,58 9 20,84 31,60
Cresce 10% (\(=r\)) 8,00 8 21,84 32,06
Cresce 30% 9,22 7 25,00 33,32
  • Dano de 1 por unidade, a VP com \(r=0{,}1\). O total extraído é 40 em todas as linhas.
  • Com custo crescente (\(2+0{,}1{Q}_{t}\), \(d=6\)), o imposto de 30% ainda antecipa (\(q_1\) de 7,13 para 7,84). O total extraído, porém, cai de 40 para 26,8; o VP do dano cai de 31,5 para 23,7.
  • A avaliação inicial da literatura é que o paradoxo não é obstáculo sério à política climática, mas a evidência empírica ainda é escassa (Tietenberg e Lewis 2018).

Recurso Parcialmente Renovável

Exercício

  • Considere o modelo de 2 períodos com \(Cmg(q)=c\)
  • A demanda ainda é dada por \({P}_{t}\left(q\right)=a-b{q}_{t}\)
  • Suponha, no entanto, que o recurso \(q\) seja parcialmente renovável
    • O estoque remanescente de \(q\) no período 1 cresce a uma taxa \((1+s)\)

Qual é a alocação eficiente neste caso?

Exercício em duplas

\(a=8\), \(b=0{,}4\), \(c=2\), \(r=0{,}1\). O estoque inicial é 21. O que fica no solo depois do período 1 cresce \(s=0{,}1\).

  • (a) Escreva a restrição que liga \({q}_{1}\) e \({q}_{2}\).
  • (b) Mostre que, no ótimo, \(a-b{q}_{1}-c=\dfrac{1+s}{1+r}\left(a-b{q}_{2}-c\right)\).
  • (c) Calcule \({q}_{1}^{*}\) e \({q}_{2}^{*}\).
  • (d) Compare \(V({q}_{1}^{*})\) e \(V({q}_{2}^{*})\). A alocação é sustentável?
  • (e) O que muda se \(s>r\)?

Solução

  • (a) \({q}_{2}\leq (1+s)(21-{q}_{1})\).
  • (b) Com multiplicador \(\mu\): \(a-b{q}_{1}-c=\mu (1+s)\) e \(\frac{a-b{q}_{2}-c}{1+r}=\mu\). Dividindo uma pela outra.
  • (c) Com \(s=r\), os benefícios marginais se igualam: \({q}_{1}={q}_{2}=q\) e \(q=1{,}1(21-q)\), logo \({q}^{*}=11\).
  • (d) \(V(11)=41{,}8\) nas duas gerações: a alocação é eficiente e sustentável.
  • (e) Com \(s>r\), o recurso no solo rende mais que o banco: \({q}_{2}^{*}>{q}_{1}^{*}\).

Solução em um gráfico

  • No cruzamento, os dois benefícios marginais líquidos valem 1,6. O crescimento do estoque compensa exatamente o desconto.

O que o exercício mostra

Alocação \({q}_{1}\) \({q}_{2}\) \({V}_{1}\) \({V}_{2}\)
Sem escassez (\(\overline{Q}\geq 30\)) 15 15 45 45
Míope (\(\overline{Q}=20\), 15 hoje) 15 5 45 25
Eficiente (\(\overline{Q}=20\), \(r=0{,}1\)) 10,24 9,76 40,46 39,51
Igualitária (\(\overline{Q}=20\)) 10 10 40 40
Parcialmente renovável (21, \(s=r\)) 11 11 41,8 41,8
  • Com recurso esgotável e \(r>0\), a alocação eficiente favorece a geração presente.
  • A diferença desaparece quando o estoque rende o mesmo que o banco (\(s=r\)). Fora disso, a transferência concilia eficiência e sustentabilidade.

Voltando à pergunta da abertura

Vinte barris para duas gerações, juros de 10%. Como a alocação eficiente divide o estoque?

  • A resposta é (b): 10,24 para a geração presente. O barril de amanhã vale menos hoje.

  • (a) só valeria com \(r=0\), ou se o estoque crescesse à taxa de juros, como no exercício.

  • (c) exigiria \(s>r\), ou uma demanda futura maior.

  • E é justa? Não automaticamente: a geração presente precisa aplicar a sobra de 0,46 em favor da futura.

Concluindo

  • Recursos naturais acrescentam o tempo ao problema: extrair hoje tem um custo de oportunidade, o custo marginal da escassez \(\lambda\).
  • Com custo de extração constante, \(\lambda\) cresce à taxa de juros (regra de Hotelling). Com custo crescente, cai a zero na transição.
  • Com direitos de propriedade bem definidos, o mercado incorpora \(\lambda\); com acesso aberto, não.
  • Eficiência dinâmica não garante sustentabilidade. Investir a renda de escassez (regra de Hartwick) garante a versão fraca.
  • Reservas são função de preço e tecnologia; índices físicos de esgotamento enganam.
  • Custos ambientais não internalizados levam a extrair rápido demais e em excesso.

Próxima aula

Clima e Energia.

O renovável é um teto para o preço do fóssil. A transição eficiente é suave. Por que, então, a transição energética precisa de política pública?

Referências

Hartwick, John M. 1977. «Intergenerational Equity and the Investing of Rents from Exhaustible Resources». American Economic Review 67 (5): 972–74.
Hotelling, Harold. 1931. «The Economics of Exhaustible Resources». Journal of Political Economy 39 (2): 137–75.
Kakela, Peter J. 1981. «Iron Ore: From Depletion to Abundance». Science 212: 132–36.
Keohane, Nathaniel O., e Sheila M. Olmstead. 2016. Markets and the Environment. 2.ª ed. Island Press.
Sinn, Hans-Werner. 2008. «Public Policies against Global Warming: A Supply Side Approach». International Tax and Public Finance 15: 360–94.
Tietenberg, Tom, e Lynne Lewis. 2018. Environmental and Natural Resource Economics. 11.ª ed. Routledge.
Van Houtven, George L., e Glenn E. Morris. 1999. «Household Behavior under Alternative Pay-as-You-Throw Systems for Solid Waste Disposal». Land Economics 75 (4): 515–37.