Modelo de Custos e Danos

EAE1317 — Economia do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais

Rafael Pucci

2026-08-13

Qual é o nível ótimo de poluição?

Na primeira aula, fizemos essa pergunta sobre o litoral paulista e demos uma resposta parcial. Hoje, derivaremos esse resultado analiticamente.

(a) Zero.

(b) O menor nível que a tecnologia disponível permitir.

(c) Depende.

Aula Passada

  • Introdução
  • Definições
  • Modelo Formal de Externalidades
    • Alocação de Pareto
    • Equilíbrio Competitivo

Agenda

  • Modelo de Custos e Danos
    • Premissas
    • Função de Danos
    • Custos de Abatimento
    • Alocação Eficiente
    • Representação Gráfica

Referência: Phaneuf e Requate, cap. 3

Modelo de Custos e Danos

Modelo de Custos e Danos

Premissas Gerais

  • Informação completa
  • Poluição e produto são separáveis
  • Poluição não é cumulativa
  • Mercados competitivos
  • Sem distorções pré-existentes e não relacionadas a meio ambiente
  • Espaço e tempo não importam
  • Sem dimensão internacional

Cada premissa dessas é uma aula do curso

Premissa de hoje Contraponto
Informação completa Informação Assimétrica
Mercados competitivos Mercado Não-Competitivo
Poluição não é cumulativa Recursos Naturais e Sustentabilidade
Espaço e tempo não importam Recursos Não-Renováveis
Sem dimensão internacional Transição Energética; Recursos Comuns
  • São premissas irrealistas, mas que nos ajudam a estruturar um modelo simples.
  • Conforme avançarmos, discutiremos o que acontece com nossas conclusões quando relaxamos essas premissas.

Modelo de Custos e Danos

  • Considere uma área em que existam firmas poluidoras e famílias.
    • Suponha que sejam usinas elétricas a carvão emitindo dióxido de enxofre (\(S{O}_{2}\)).
  • As firmas são tomadoras de preço, pois vendem eletricidade no mercado nacional
  • Famílias (consumidores) também são tomadoras de preço e compram energia no mercado nacional.
    • Não dependem das usinas vizinhas exclusivamente.
  • Cada firma é indexada por \(j\in \{1,2,...,J\}\).
  • Cada consumidor é indexado por \(i\in \{1,2,...,I\}\).

Modelo de Custos e Danos

Cada firma \(j\) emite uma quantidade de poluição \({e}_{j}\).

  • Portanto, poluição total é igual a

\[E=\sum_{j=1}^{J} {e}_{j}\]

As três peças do modelo

1. Danos custo da poluição para quem sofre suas consequências

2. Custos de abatimento custo das firmas para deixar de gerar poluição

3. Ponto ótimo o nível de \(E\) que minimiza a soma dos dois

Função de Danos

Consumidores têm função utilidade dada por

\[{U}_{i}\left({y}_{i},E\right)={y}_{i}-{D}_{i}(E)\]

  • \({y}_{i}\) é a renda gasta em todos os bens;
  • \({D}_{i}(E)\) é a “desutilidade” causada ao indivíduo \(i\) pela poluição;
  • Notem que \({D}_{i}(E)\) depende do nível total de poluição, não de \({e}_{j}\);
  • Notem que \({U}_{i}\) é quase-linear. Por que isso é conveniente?
    • Taxa Marginal de Substituição informa disposição marginal a pagar por menos poluição em termos monetários.

Função de Danos

Função de Danos é crescente e convexa

  • \({D}_{i}^{′}\left(E\right)>0\) e \({D}_{i}^{′′}\left(E\right)\geq 0\).
  • Portanto, danos são crescentes em \(E\) a taxas constantes ou crescentes.

Dano agregado é dado simplesmente por

\[D\left(E\right)=\sum_{i=1}^{I} {D}_{i}(E)\]

Nível e inclinação nos levam à mesma informação

  • O gráfico da esquerda representa o dano total; o da direita, o dano de mais uma unidade de \(E\). Como se relacionam?
  • A área sombreada à direita é a altura marcada à esquerda.

Custos de Abatimento

1. Danos custo da poluição para quem sofre suas consequências

2. Custos de abatimento custo das firmas para deixar de gerar poluição

3. Ponto ótimo o nível de \(E\) que minimiza a soma dos dois

  • Do lado do dano, a variável relevante é \(E\) (dano total).
  • Do lado do custo, é \({e}_{j}\): o que cada firma emite.

Custos de Abatimento

  • Firmas incorrem em 2 tipos de custo:
    • Custo operacional;
    • Custo de Abatimento = custo para reduzir poluição.
  • Este é o custo pago para cada unidade de poluição abaixo do que seria a escolha ótima individual da usina.
    • Chamaremos esse nível ótimo individual de \(\hat{e}_{j}\).

Custos de Abatimento

  • Assumiremos que custo operacional e custo de abatimento são separáveis.
  • Definiremos a função custo de abatimento por \({C}_{j}({e}_{j})\).
  • Qual é o custo de abatimento da firma em um equilíbrio competitivo?
    • Se firma não é obrigada a escolher poluição menor do que \(\hat{e}_{j}\), então custo de abatimento é zero.
    • Ou seja, \({C}_{j}\left(\hat{e}_{j}\right)=0\)

Custos de Abatimento

  • \({C}_{j}\left({e}_{j}\right)\) é positivo para qualquer nível de \({e}_{j}<\hat{e}_{j}\).
  • Além disso, assumiremos que custo de abatimento diminui com nível de poluição.
    • Ou seja, \({C}_{j}^{′}\left({e}_{j}\right)<0\) para \({e}_{j}<\hat{e}_{j}\).

\(\rightarrow\) Quanto maior a redução de poluição, maior o custo

Custos de Abatimento

  • Vamos definir também a função de custo marginal de abatimento:

\[CM{g}_{j}\left({e}_{j}\right)=-{C}_{j}^{′}\left({e}_{j}\right)>0 \quad \text{para } {e}_{j}<\hat{e}_{j}\]

  • Incluímos o sinal negativo apenas por conveniência.

Custos de Abatimento

  • Note que \(CM{g}_{j}({e}_{j})\) cresce conforme poluição diminui.
    • Ou seja, quanto menor o nível de poluição, mais caro é reduzir outra unidade de poluição;
    • Matematicamente, temos que \(CM{g}_{j}^{′}\left({e}_{j}\right)=-{C}_{j}^{′′}\left({e}_{j}\right)\leq 0\) para \({e}_{j}<\hat{e}_{j}\).
  • \(CM{g}_{j}^{′}\left({e}_{j}\right)\leq 0\) é uma premissa baseada em observação da realidade.
    • Quando a firma é muito poluidora, costuma ser mais barato cortar as emissões.

Exemplo da usina a carvão

  • É relativamente barato substituir carvão com alto nível de enxofre por carvão com baixo nível de enxofre \(\rightarrow\) redução de emissões de \(S{O}_{2}\).
  • Para reduzir ainda mais, é preciso instalar purificadores de fumaça \(\rightarrow\) custo maior.

Representação gráfica do custo

  • \({C}_{j}\) desce da esquerda para a direita (emitir mais custa menos); \(CM{g}_{j}\) é a inclinação do custo com o sinal trocado.
  • O custo de abatimento em \({e}_{j}\) é a área sob \(CM{g}_{j}\) entre \({e}_{j}\) e \(\hat{e}_{j}\): soma-se o preço (custo) de cada tonelada cortada.

Alocação Eficiente

1. Danos custo da poluição para quem sofre suas consequências

2. Custos de abatimento custo das firmas para deixar de gerar poluição

3. Ponto ótimo o nível de \(E\) que minimiza a soma dos dois

  • Na aula 02, no exercício das três firmas, vocês já resolveram metade disto: o corte de 90 t saía mais barato comprando todo bloco de até R$ 90 mil.
  • Lá, o alvo de 90 t foi proposto pela autoridade ambiental. Aqui, estamos tratando de calcular esse alvo.

Exercício: duas usinas e um limiar

Duas usinas a carvão emitem 50 t de \(S{O}_{2}\) cada por ano. Cortar emissões custa, em blocos de 10 t (R$ mil):

Bloco cortado 1º 2º 3º 4º 5º
Usina A 10 20 30 40 50
Usina B 20 40 60 80 100

Cada 10 t emitidas causam R$ 45 mil de dano à população vizinha.

(a) Quanto cortar no total? (b) Quanto em cada usina?

(c) Quanto custou o último bloco cortado em cada uma?

Exercício: solução

  • Corta-se todo bloco que custe menos que R$ 45 mil de dano evitado:
    • Usina A corta 4 blocos (10+20+30+40); Usina B corta 2 (20+40).
    • 60 t cortadas, 40 t emitidas, R$ 160 mil de custo de abatimento.
Abatimento Dano Custo social
Sem regulação (0 t cortadas) 0 450 450
Corte uniforme (30 t de cada) 180 180 360
Poluição zero (100 t cortadas) 450 0 450
Corte eficiente (40 + 20 t) 160 180 340
  • O último bloco cortado custou R$ 40 mil nas duas usinas, ao passo que o próximo já custaria mais que os R$ 45 mil de dano.

Alocação Eficiente

Como encontramos a alocação ótima de Pareto neste modelo?

  • Minimizaremos custo total da externalidade para a sociedade:
    • Composto pelo custo de abatimento e pelo dano aos indivíduos.

\[SC\left({e}_{1},...,{e}_{J}\right)=\sum_{j=1}^{J} {C}_{j}({e}_{j})+D(E)\]

  • Como resolver para \(j\) qualquer? (LOUSA)

Alocação Eficiente

Condição de Primeira Ordem tem duas implicações importantes:

  1. Custo marginal de abatimento é igual a dano marginal da poluição:

\[CM{g}_{j}\left({e}_{j}\right)=-{C}_{j}^{′}\left({e}_{j}\right)={D}^{′}\left(E\right) \quad \forall j\in \{1,...,J\}\]

  1. Custo marginal de abatimento é igual para todas as firmas (Princípio Equimarginal):

\[CM{g}_{j}\left({e}_{j}\right)=-{C}_{j}^{′}\left({e}_{j}\right)=-{C}_{k}^{′}\left({e}_{k}\right)=CM{g}_{k}\left({e}_{k}\right) \quad \forall j,k\]

Estratégia para regular externalidade ambiental é ótima (eficiente) se conduzir a alocações que satisfaçam ambas essas condições.

Essas duas condições apareceram no exercício

No exercício No modelo
Onde parar de cortar último bloco custa R$ 40 mil, o próximo custaria mais do que os R$ 45 mil de dano \(CM{g}_{j}({e}_{j})={D}^{′}(E)\)
Como repartir o corte o último bloco cortado custa o mesmo nas duas usinas \(CM{g}_{j}({e}_{j})=CM{g}_{k}({e}_{k})\)
O que sobra de fora quem paga a conta do abatimento modelo deixa em aberto
  • As duas primeiras linhas são a mesma conta em versão discreta e contínua.
  • A terceira será tratada na próxima aula: a eficiência fixa quanto se corta, mas não, necessariamente, quem paga a conta.

Sem regulação, não cortam o suficiente

  • Cada firma corta até seu custo marginal chegar a zero, ou seja, não corta nada.
  • O dano marginal nesse ponto não é zero, o que justifica a necessidade de regulação.

O nível comum: Princípio Equimarginal

  • A linha tracejada representa um único número, pois, no ótimo, \(CM{g}_{1}=CM{g}_{2}={D}^{′}(E^{*})\).

Custo de abatimento total está nas áreas vermelhas

  • Note que a firma 2 corta mais que a firma 1 porque é mais eficiente em abatimento.

Custo social é a soma das três áreas

  • Mover \({e}_{1}\) ou \({e}_{2}\) para qualquer lado aumenta a soma das três áreas.
  • Em particular, levar a poluição a zero elimina a área azul ao custo de duas áreas vermelhas enormes.

Experimentem: onde vocês parariam?

Custo social: R$ 2.500 mil  =  abatimento 938 + dano 1.563  ·  o mínimo possível

Voltando à pergunta da abertura

Qual é o nível ótimo de poluição?

(a) Não é zero: as últimas toneladas cortadas custam mais do que o dano que evitam.

(b) Não é o que a tecnologia permitir, pois esta informa quanto custa cortar, não quanto vale cortar.

(c) É o nível em que o custo de cortar mais uma tonelada iguala o dano que essa tonelada causa (que será o mesmo em todas as firmas).

Falta a pergunta que o modelo não responde abertamente: quem deveria pagar a conta? Falaremos mais sobre isso na próxima aula.

Referências

Phaneuf, Daniel J., e Till Requate. 2017. A Course in Environmental Economics: Theory, Policy, and Practice. Cambridge University Press.